সমস্যা A: ডায়াগনের পথ
সমাধানঃ এদের মধ্যে একটি গুহা আমাকে ডায়াগনে নিয়ে যাবে। ধরি প্রথম গুহাটি সঠিক রাস্তা। তাহলে যে 6 টি কথা লেখা ছিলো, তাদের মাঝে সর্বমোট 4 টি সঠিক। তাহলে প্রথম গুহাটি আসলে ভুল রাস্তা।
একইভাবে তৃতীয় গুহার রাস্তাকে সঠিক ধরলে সর্বমোট 4 টি সঠিক হবে। কিন্তু যদি দ্বিতীয় গুহাকে সঠিক রাস্তা ধরি, তাহলে মোট 2 টি কথা সেখানে সঠিক হবে। তাই উত্তর হলো \fbox{2} নম্বর গুহা।
সমস্যা B: ডায়াগনের পথ ২
সমাধানঃ যেহেতু ওদের কাছে 6 এন্ডো আছে, তাহলে ওরা 3 ইউনিটের বেশি খাবার কিনতে পারবে না বোঝাই যাচ্ছে। কারণ 8 সিরো এবং 3 ফুডো নিয়ে নতুন দুটি এন্ডো সম্ভব নয়।
3 ইউনিট খাবারের জন্যে ওদের তাহলে সর্বমোট 6 এন্ডো, 6 কিডো, 9 ফুডো লাগবে। অর্থ্যাৎ 8 সিরোর মূল্য 6 কিডো এবং 6 ফুডো সমপরিমাণ কিনা তা হিসাব করতে হবে। কিন্তু যেহেতু 7 সিরো আর 3 কিডোর মান একই, তাহলে বাকি একটি সিরোর মূল্য কখনোই 3 কিডো পরিমাণ হবে না। অর্থ্যাৎ 3 ইউনিট কেনা অসম্ভব।
আবার, 3 এন্ডো + 5 সিরো = 21 ফুডো \Rightarrow 15 কিডো + 5 সিরো = 21 ফুডো \Rightarrow 35 সিরো + 5 সিরো = 21 ফুডো \Rightarrow 40 সিরো = 21 ফুডো।
অর্থ্যাৎ, 8 সিরোর মূল্য 3 ফুডোর থেকে কিছুটা বেশি, আর একটি এন্ডোকে ভাঙিয়ে 5 টি কিডো করে নিলেই ওদের 2 ইউনিটের খাবারের মূল্য হয়ে যায়। তাই উত্তর হলো \fbox{2}
সমস্যা C: সর্বত্র কোণের গুণিতক
সমাধানঃ
চিত্রে আমাদের \angle APC এর মান বের করতে হবে।
A থেকে BC এর উপর একটি লম্ব আঁকি। লম্বটি BP কে X বিন্দুতে ছেদ করে। যেহেতু AB=AC, অতএব AX \angle BAC কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাহলে \angle BAX = \angle CAX= 2 \alpha, এবং AX রেখা BC এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক হওয়ায় \angle ABX = \angle ACX = 2 \theta
তাহলে CP এবং AP হলো যথাক্রমে \angle CAX এবং \angle ACX এর সমদ্বিখণ্ডক। তাহলে \triangle AXC এর অন্তঃকেন্দ্র হলো P । তাহলে অবশ্যই \angle AXP = \angle CXP হবে।
\angle AXP = \angle ABX + \angle BAX (বহিঃস্থ কোণ অপর দুটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান) = 2 \theta + 2 \alpha ।
অতএব \angle AXC = 2 \times \angle AXP = 4 \theta + 4 \alpha ।
\triangle AXC হতে পাই, \angle AXC + \angle ACX + \angle CAX = (4 \theta + 4 \alpha ) + 2 \theta + 2 \alpha = 6( \theta + \alpha) = 180 \Rightarrow \theta + \alpha = 30 ।
তাহলে \angle APC = 180^\circ - ( \theta + \alpha) = 180^\circ - 30^\circ = \fbox{150}
সমস্যা D: অংকের সমষ্টির গুণিতক
সমাধানঃ প্রথমত, সংখ্যাটি 4 বা এর বেশি অংকের হতে পারবে না। কারণ 4 অংকের যেকোন সংখ্যার অংকগুলোর যোগফল সর্ব্বোচ্চ 4 \times 9 = 36 হতে পারে, আর তার সাথে 13 গুণ করলে গুণফল 468 হয় যা 3 অংকের একটি সংখ্যা। অর্থ্যাৎ 4 অংকের কোন সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টির 13 গুণ ওই সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা নেই।
এবার, প্রশ্নমতে, 100a + 10b + c = 13(a+b+c) \Leftrightarrow 87a = 3b + 12c \Leftrightarrow 29a = b+4c
এখানে, a<2 হবে কারণ a এর মান 2 বসালে সমীকরণটি দাঁড়ায় 29 \times 2 = 58 > 9 + 4 \times 9 ( b এবং c এর মান সর্ব্বোচ্চ মান 9 হতে পারে)।
a= 1 হলে b + 4c = 29 । মান বসিয়ে হিসাব করলে আমরা (b,c) সমাধান পাবো (1,7), (5,6), (9,5) । তাহলে সংখ্যাগুলো হলো 117, 156, 195 যাদের যোগফল হলো \fbox {468}
সমস্যা E: পূর্ণসংখ্যার সাথে বর্গমূল
সমাধানঃ ধরি, G = \sqrt g এবং Z = \sqrt z
তাহলে সমীকরণগুলো দাঁড়ায় G^2Z + GZ^2 = 1 এবং G^3 + Z^3 = 5
প্রথম সমীকরণ থেকে পাই, GZ(G+Z) = 1
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই, G^3 + Z^3 = (G+Z)^3 - 3GZ(G+Z) \Leftrightarrow (G+Z)^3 = 8 \Leftrightarrow G+Z = 2 । অতএব GZ = \frac12 ।
এখন, g+z = G^2 + Z^2 = (G+Z)^2 - 2GZ = 2^2 - 2 \times \frac 12 = 3 এবং gz = (GZ)^2 = \frac 14
\therefore (\frac 1g + \frac 1z) = \frac{g+z}{gz} = \frac{3}{\frac 14} = \fbox {12}
সমস্যা F: ভগ্নাংশের ঘাত ভগ্নাংশ
সমাধানঃ t^2 + 2ta +b^2 পূর্ণবর্গসংখ্যা হবে যদি a = b হয়। তাহলে সংখ্যাটি হবে 2021^{2021} = m^n বা (m+n) এর মান হলো 2021+2021 = \fbox {4042}
সমস্যা G: সমাধান উদ্ভুত সংখ্যা
সমাধানঃ 6 \times 1^6 + 1^3 + 3 = 10 যা 7m আকারের সংখ্যা নয়।
6 \times 2^6 + 2^3 + 3 = 395 যা 7m আকারের সংখ্যা নয়।
6\times 3^6 + 3^3 + 3 = 4404 যা 7m আকারের সংখ্যা নয়।
6 \times 4^6 + 4^3 + 3 = 24643 এখানে m এর মান 2021 এর থেকে বড় হয়ে যায়।
অতএব, 6n^6 + n^3 +3 = 7m এর কোন সমাধান নেই। তাহলে \frac{k^{2021}-k^{2020}+k^{2019}-k^{2018}+.....-k^2+k}{2021k+1} = \frac{0^{2021}-0^{2020}+0^{2019}-0^{2018}+.....-0^2+0}{2021 \times 0+1} = \frac 01 = \fbox 0
