স্থানাঙ্ক জিনিসটা বোরিং দেখতে লাগলেও এটি খুবই মজাদার। আজকে আমরা স্থানাঙ্ক নিয়ে মজার একটা সমস্যা সমাধান করবো। তো অপেক্ষা কিসের? চলো শুরু করি।
সমস্যা: একই রেখাংশে পরপর অবস্থিত দুটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 এবং 2। ত্রিভুজ দুটির পরিকেন্দ্রের দুরুত্ব কত?
এইখানে আমরা আগে পরিকেন্দ্র দুটির স্থানাঙ্ক বের করে তাদের দুরুত্ব বের করবো। তার আগে চলো স্থানাঙ্কের সাহায্যে কেমনে দুটি বিন্দুর দুরুত্ব বের করা যায়, তা চিন্তা করি।
ধরো দুইটি বিন্দু A(x_1,y_1) এবং B(x_2,y_2) এখন যদি তোমাকে বলি বিন্দু দুটির দূরত্ব কত? কেমনে বের করবে? কী ভাবছো? স্কেল দিয়ে মেপে বের করে নিবে? কিন্তু তোমাকে যদি বলি x_1=96, y_1=3213, x_2=2396,y_2=13 তখন কি করবে? চিন্তায় পরে গেলে নাকি? চলো সেই চিন্তার সমুদ্র পাড়ি দেওয়া যাক।
আবার C, D, E বিন্দুগুলো দেখে ভয় পেলে নাকি? চিন্তা নেই। একটু ভেবে দেখলে তুমি নিজেই বুঝে যাবে।
এখানে, \angle =90 \degree । তাই, AB=\sqrt{AC^2+BC^2}
আবার, AC=(x_2-x_1) আর BC=(y_2-y_1)
তাই বলা যাই, AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
তো বের করে ফেললাম তো দুটি বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব বের করার সূত্র!
তোমাদের অনেকের মাথায় হয়তোবা আসতে পারে বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে। কিন্তু দুরুত্ব তো সবসমই ধনাত্মক হয় তাই ঋণাত্মক হবে না।
চলো এই সূত্র দিয়ে একটি প্রব্লেমটি সল্ভ করি।
সমাধান:
এখানে আমাদের PQ এর মান বের করতে হবে। এখন দেখো, উভয় সমবাহ ত্রিভুজকে তিনটি করে সমান সমান ত্রিভুজে ভাগ করা হয়েছে। কেন সমান তা তুমি নিজেই বের করো।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =\sqrt{S(S-A)(S-B)(S-C)} যেখানে S=\frac{A+B+C}{2} আর A, B, C হলো ত্রিভুজের তিন বাহু।
এই সূত্র ব্যবহার করে পাই, উভয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে \frac{25\sqrt{3}}{4} এবং \sqrt{3}
সুতরাং, প্রথম ত্রিভুজের প্রতিটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \frac{\frac{25\sqrt{3}}{4}}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{12}
একইভাবে দ্বিতীয় ত্রিভুজের প্রতিটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \frac{ \sqrt{3}}{3}
এখন ছোট ত্রিভুজগুলোর ভূমি যথাক্রমে 5 ও 2 আর ক্ষেত্রফল আমাদের জানা আছে। তাই একটু অঙ্ক কষলেই বুঝতে পারবে উচ্চতা যথাক্রমে \frac{5\sqrt{3}}{6} ও \frac{ \sqrt{3}}{3}
এখন, x অক্ষ হতে P আর Q বিন্দুর উচ্চতা আমাদের জানা আছে। আবার উভয় ত্রিভুজ সমবাহু হওয়াতে আমরা বলতে পারি, y অক্ষ হতে P বিন্দুর দূরত্ব \frac{5}{2} আর y অক্ষ হতে Q বিন্দুর দূরত্ব 5+\frac{2}{2}=6
তাই বলা যায়, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক P(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{6}) আর Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক Q(6,\frac{\sqrt{3}}{3})
আর আমাদের আবিষ্কৃত সূত্র থেকে আমরা বলতে পারি যে, PQ=3.37...
অনুশীলন: একটি বর্গ ABCD এর এক বাহুর ওপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ ADE রয়েছে এবং AB এর সমান করে B ও C হতে দুটি চাপ আঁকা হলো যারা পরস্পরকে বর্গের অভ্যন্তরে O বিন্দুতে ছেদ করে। বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে O হতে ADE এর পরিকেন্দ্রের দুরত্ব কত?
Note: Sorry for any mistake if I have made.