কাল্পনিক সংখ্যা

My first write on math at the time I was in class 7.

কাল্পনিক সংখ্যা

আমরা সবাই একটি সংখ্যাকে বিভিন্ন পদ্ধতিতে বর্গমূল করে থাকি। কিন্তু তোমাকে যদি আমি একটা সংখ্যা দিয়ে বলি, তুমি যদি এই সংখ্যাটার বর্গমূল বের করতে পারো, তাহলে আমি তোমাকে পুরষ্কার দিব। এবং এর জন্য তুমি বিভিন্ন যন্ত্রপাতি যেমনঃ ক্যালকুলেটর এমনকি কম্পিউটারও ব্যবহার করতে পারবে, তখন তুমি কি করবে?
অনেকেই হইত কম্পিউটার নিয়ে বসে এর সমাধান বের করার কাজে নেমে পড়বে। কিন্তু তুমি কি জানো সংখ্যাটি কত বা কোন ধরনের? যার বর্গমূলের সাংখ্যিক সমাধানের জন্য আমি তোমাকে পুরস্কার দিব।
সংখ্যাটি হল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। আর আমি এর সাংখ্যিক সমাধানের জন্য পুরস্কার দিব কারণ, এর কোন সাংখ্যিক সমাধানই নেই। তাই তোমরা কেউই পুরস্কারটি পাবেনা। তাই আমি দুঃখিত।

এখন আমি দেখাবো এর কেন কোনো সাংখ্যিক সমাধান নেই। তাহলে চল শুরু করি।
আমরা জানি,

\sqrt{a}=b \ \ হলে, b \times b = b^2 = a

তাহলে, আমরা বলতে পারি কোন সংখ্যার বর্গমূল এমন একটি সংখ্যা হবে যাতে ওই সংখ্যাটিকে বর্গ করলে সবসময়ই প্রথম সংখ্যাটি পাওয়া যায়। আর কোনো সংখ্যার বর্গ হলো একই মানের দুইটা সংখ্যার গুণফল। আর একই মানের দুইটা সংখ্যার গুণফল সবসময়ই ধনাত্মক হয়। কারণ,

-a \times -a = (-a)^2 = a^2\\ এবং,\\ a \times a = a^2

তাহলে আমরা বলতে পারি, একটি বর্গ সংখ্যা পেতে হলে একই মানের দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা বা দুইটি ঋনাত্মক সংখ্যা গুণ করতে হয়। আর দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা বা দুইটি ঋনাত্মক সংখ্যার গুণফল সবসময়ই ধনাত্মক হয়। তাহলে আমরা বলতে পারি যেকোনো সংখ্যার বর্গ সবসময়ই ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার বর্গ কখনই ঋণাত্মক হয় না। তাই, কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলও হয় না।

অর্থাৎ, আমরা প্রমাণ করেছি কোনো ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল হয় না। কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলের কোনো মান না থাকলেও ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নিয়ে অনেক মজার মজার প্রবলেম আছে। তাহলে চল শুরু করি।


প্রবলেমঃ ১ !
\sqrt{1} কে কাল্পনিক সংখ্যা i বলা হয়। তাহলে, \frac{1+i}{1-i} এর মান কত ?

সমাধানঃ
\Rightarrow\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1+i)(1-i)}= \frac{1+2i+i^2}{1^2-i^2}= \frac{1+2i-1}{1-(-1)}=\frac{2i}{2}=i \\ \therefore\frac{1+i}{1-i}=i

প্রবলেমঃ ২ !
\sqrt{1} কে কাল্পনিক সংখ্যা i বলা হয়। \frac{1}{4-3i} কে a+ib আকারে প্রকাশ করো।

সমাধানঃ
\Rightarrow\frac{1}{4-3i}=\frac{1 \times (4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\frac{4+3i}{4^2-3^2i^2}=\frac{4+3i}{16-9(-1)}=\frac{4+3i}{25}=\frac{4}{25}+i\frac{3}{25} \\ \therefore\frac{1}{4-3i}=\frac{4}{25}+i\frac{3}{25}

1 Like