Calibration Round #17 Editorial

Problem A

f(69)=f(2 \times 34 +1) \\ f(34)=f(2 \times 17

Again, f(0)= 4f(0)-0

Problem B

অন্তকেন্দ্র I হলে A,I যোগ কর। \angle IAD = \angle IAB = \angle AID B,I যোগ করে একই কাজ কর।

Join A,I for incenter I. \angle IAD= \angle IAB = \angle AID. Join B,I and do the same thing.

Problem C

হতে পারে যন্ত্রটি দুবার কাজ করেছে অথবা একবার কাজ করেছে অথবা একবারও কাজ করেনি। যদি একবারও কাজ না করে, তাহলে ক্রম আগের মতো থেকে যায়। যদি একবার কাজ করে, তাহলে একবার পরিবর্তিত হয়ে পরিবর্তিতই থেকে যায়। যদি দুইবার কাজ করে তবে প্রথমবার পরিবর্তিত হয়, দ্বিতীয়বার পরিবর্তিত হয়ে শুরুর ক্রমেও চলে আসতে পারে।

The machine either works twice, once, or no times. If it doesn’t work either time, the order remains the same. If it works once, the order changes and remains changed. If it works twice, it changes the order the first time and might return to the first order by working the second time.

Problem D

n টি সংখ্যার জন্য মোট উপায় f(n). দেখাও যে, f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i).f(n-1-i)

f(0)=1 \\ f(1)=1 \\ f(2)=2

এখান থেকে f(9) এর মান নির্ণয় করা যায়।

f(n) এর সাধারণ মানের জন্য, f(n)= {f(0)+f(1)x+f(2)x^2 + \cdot}^2 এর x^{n-1} এর সহগ।

ডানের সমীকরণটিকে x দ্বারা গুণ করলে f(n) হবে x^n এর সহগ। অর্থাৎ,

x{f(0) + f(1)x+f(2)x^2+ \cdots}^2 = f(1)x+f(2)x^2+ \cdots

f(0)+f(1x)+ \cdots = P(x) ধরে পাই,
xP(x)^2=P(x)-1
\implies P(x)= \frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}

\sqrt{1-4x} এর ম্যাকলরেন সিরিজ বের করে সমীকরণে বসিয়ে দাও।

Let the total possible arrangement for n numbers be f(n). Show that f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i).f(n-1-i)

f(0)=1 \\ f(1)=1 \\ f(2)=2

You can calculate f(9) from here.

For the general case of calculating f(n),

f(n)= \text{ the coefficient of } x^{n-1} \text{ of } {f(0)+f(1)x+f(2)x^2 + \cdot}^2

Multiply the equation on the right and x f(n) becomes the coefficient of x^n.

Therefore,
x{f(0) + f(1)x+f(2)x^2+ \cdots}^2 = f(1)x+f(2)x^2+ \cdots

Let f(0)+f(1x)+ \cdots = P(x) .

xP(x)^2=P(x)-1
\implies P(x)= \frac{1 \pm \sqrt{1-4x}}{2x}

Determine the Maclaurin series of \sqrt{1-4x} and put it in the equation.

Problem E

ধরি লম্বগুলো যথাক্রমে a,b,c বাহুর উপর অবস্থিত। আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A হলে, A=\frac{a+b+c}{2} \times r যেখানে r হিলো অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ। আবার, A=\frac{9a}{2}=\frac{12b}{2}=\frac{18c}{2}.

Let the altitudes be on sides a,b,c respectively. The area of the triangle, A= \frac{a+b+c}{2} \times r where r is the inradius. Again, A= \frac{9a}{2}=\frac{12b}{2}=\frac{18c}{2}.

Problem F

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দু’টি উৎপাদক পাবে। মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুযায়ী,একটি উৎপাদক হবে 1 ও অপরটি হবে ঐ মৌলিক সংখ্যা

Break it down into two factors. According to the definition of prime numbers, one would be 1 and the other would be the prime number.