Editorial of Calibration Round #16

Website Discussion
1

Problem A:
আমরা যদি এটাকে গ্রাফাকারে চিন্তা করি, যেখানে দলগুলো হলো নোড এবং দু’টি নোডের মধ্যে এজ থাকা মানে তাদের মধ্যে একটি ম্যাচ হয়েছে, তাহলে আমাদের গ্রাফে কোন ত্রিভুজ থাকতে পারবে না। আটটা নোডের জন্য এমন সর্বোচ্চ কয়টা এজ থাকতে পারে?

If we consider it as a graph, where the teams are nodes and an edge connecting two nodes refer to a game between them, it implies that this graph must not have any triangles. What is the maximum amount of edges possible like this for 8 nodes?

Problem B:
S = \frac19 + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \dots + \frac{1}{10^n-1} + \dots \dots
\Rightarrow S = 0.111111\dots + 0.010101\dots + 0.001001001\dots

সংখ্যাগুলোকে কলাম আকারে সাজালে স্পষ্টত k তম কলাম শুধুমাত্র 1 এবং 0 দ্বারা গঠিত। কলাম k এর 1 গুলো r তম সারিতে থাকে যদি এবং কেবল যদি r, k এর গুণিতক হয়। কলাম k এর মধ্যে k তম সারির নিচে শুধুমাত্র 0 এর আছে। কলাম 37 এ 1 আছে কেবল 1 ও 37 নম্বর সারিতে। আবার কলামটির যোগফল 38 তম কলামটির হাতে থাকা সংখ্যার কারণেও বাড়তে পারে। আবার কলাম 38 এর যোগফল কলাম 39 এর হাতে থাকা সংখ্যার জন্য বাড়তে পার

S = \frac19 + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \dots + \frac{1}{10^n-1} + \dots \dots
\Rightarrow S = 0.111111\dots + 0.010101\dots + 0.001001001\dots

First, it is clear that the k th column is composed only of 1's and 0's. The 1's in column k occur in the $r$th row only if r is a divisor of k. Below the $k$th row in column k there are only 0's. Since 37 is a prime, its only divisors are 1 and 37 and so the only 1's in column 37 occur in rows 1 and 37. Thus we may be tempted to jump to the conclusion that the required digit is 2. However, the sum can increase due to the carry over from column 38, and the sum of column 38 can increase due to the carry over from column 39.

Problem C:
ধরি X = \overline{AE} \cap \overline{BC}. যেহেতু \triangle ABX \sim \triangle CEX , এমন t বিদ্যমান যেন BX=3t এবং EX=7t হয়।
এখন, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল CX\cdot AB এবং AX\cdot CE এ দুইভাবে প্রকাশ করা যায়।

Let X = \overline{AE} \cap \overline{BC}. Since \triangle ABX \sim \triangle CEX we may select t such that BX=3t and EX=7t. Then the area of the parallelogram is both CX\cdot AB and AX\cdot CE.

Problem D:
প্রথমে এটি না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করে এক হতে বিয়োগ করি। হয় 6 টি ভিন্ন সংখ্যা আছে বা 7 টি। প্রথম ক্ষেত্রে প্রথম ছয়ট ভিন্ন সংখ্যা নির্বাচন করে কোন সংখ্যাটি দুবার থাকবে সেটা নির্ধারণ করতে হবে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সাতটি ভিন্ন সংখ্যা নির্বাচন করতে হবে।

First find the probability of this not to happen and subtract from 1. There are either 6 or 7 different numbers. In the first case, choose 6 different numbers and choose which one repeats. In the second case, choose 7 different numbers.

Problem E:
তিনটি কেইস বিবেচনা করতে হবে

  • সূচকটি 0:

  • ভিত্তিটি 1:

  • ভিত্তিটি -1 এবং সূচক জোড়:

We must consider three cases:

  • The exponent equals to 0:

  • The base is 1:

  • The base is -1 and the exponent is even.

Problem F:
সমীকরণটিকে আলাদাভাবে a,b,c দ্বারা গুণ করে পাই,

\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{a b}{a+c}+\frac{a c}{a+b}=a \\ \frac{b a}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{b c}{a+b}=b \\ \frac{c a}{b+c}+\frac{c b}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=c \end{array}

Multiplying the equation by a,b,c individually,

\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{a b}{a+c}+\frac{a c}{a+b}=a \\ \frac{b a}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{b c}{a+b}=b \\ \frac{c a}{b+c}+\frac{c b}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}=c \end{array}

Problem G:
ধরি , A F=x \Longrightarrow B E=840-x.

F হতে A G এর উপর লম্ব আঁকো। সদৃশ ত্রিভুজ দেখা যায়?

Let A F=x \Longrightarrow B E=840-x.

Draw altitude from F to A G. Can you spot the similar triangles?

2 Likes