Geometry Marathon

[YouKnowMEEM]

Solution of problem 7:

চোখের মণির ক্ষেত্রফল = \pi \times (\frac{2}{2})^2 = 3.141593… বর্গ একক

মনে করি, বৃত্তচাপটি যে বৃত্তের, তার ব্যাসার্ধ = r
r^{2}=(r-1)^{2}+(\frac{9}{2})^{2}
=> r^{2}=r^{2}-2r+1+20.25
=> r = 10.625 একক

বৃত্তচাপটির দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, \theta=2\times\sin ^{-1}(\frac{4.5}{10.625}) = 50.1152…

সম্পূর্ণ চোখের ক্ষেত্রফল = 2\times((\frac{\theta \times \pi \times 10.625^2}{360})- (\frac{1}{2}\times 9\times 9.625)) = 12.117696…বর্গ একক

অতএব, চোখের সাদা অংশের ক্ষেত্রফল = 12.1177 - 3.1416 = 8.976… বর্গ একক।

[adnansgphs]

লেটেক্স কোড বোঝা যাচ্ছে না @YouKnowMEEM

[YouKnowMEEM]

Problem 8:

বাংলা:
ত্রিভুজ ABC-তে, কোণ BAC এর অভ্যন্তরীণ কোণ দ্বিখন্ডক, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। ABC বৃত্তের A বিন্দুতে উৎপন্ন স্পর্শক BC কে T বিন্দুতে ছেদ করে। I হলো ত্রিভুজ ABC-এর অন্তকেন্দ্র। TI, S বিন্দুতে IBC বৃত্তকে ছেদ করে। দেওয়া আছে, কোণ ABC = 80 ডিগ্রি এবং কোণ ACB = 30 ডিগ্রি। কোণ ISD এর মান ডিগ্রিতে বের করো।

English:
In triangle ABC, the internal angle bisector of angle BAC intersects BC at D. Tangent to circle ABC at A intersects BC at T. I is the incenter of triangle ABC. TI intersects circle IBC at S. Given that, angle ABC = 80 degree and angle ACB = 30 degree. Find the value of angle ISD in degrees.

Collected from Al-Biruni Geo Camp `21.

[shahriaraminarif1234]

@YouKnowMEEM

Solution of problem 6:

Here, the radius of the big circle = AE
By using, the theorem of power of point,
ED^2 = AE^2
ED = AE
So, the area of the big circle = π×AE^2
= π×ED^2
= 3.14159 × 4^2
= 50.265482…
The result is: 50.2655 square unit.

But , AD is the tangent of the small circle. So, \angle{ADE} = 90\degree. According to Pythagoras theorem, AD^{2}+ED^2=AE^2.
If ED^2=AE^2, then AD=0, which is not possible.

[YouKnowMEEM]

Oo… My Gosh…! Yea, there is a mistake. Wait a bit. I`m fixing it. Thank you @shahriaraminarif1234 .

[math_rocker]

এটার উত্তর হল ৩২ বর্গ একক।

@adnansgphs as per the rules of the community, you are not supposed to post answers to any Gonitzoggo problem here. Please remove the thread.

[adnansgphs]

I know it @math_rocker but @ROHAN1230 argued with me.

[adnansgphs]

@math_rocker আপনি Reply টা সরিয়ে নেন।

[ROHAN1230]

Problem 9:

English:
The perimeter of an equilateral triangle and a regular hexagon is the same. If the area of the triangle is 16, what will be the area of the hexagon?

বাংলা:
একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং একটি সুষম ষড়ভুজের পরিসীমা একই। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬ হলে ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল কত?

[adnansgphs]

[bishnudas1315]

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a
ক্ষেত্রফল = \frac {\sqrt3}{4} a^2 = 16
a = 6.07868
ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a = 18.236
সুষম ষড়ভূজের পরিসীমা = ত্রিভুজের পরিসীমা = 18.236
সুষম ষড়ভূজের বাহু = x = \frac{18.236}{6} = 3.0393

সুষম ষড়ভূজের ক্ষেত্রফল =\frac{6*3.0393^2}{4} cot(\frac{180}{6})= 24(প্রায়)
\fbox{area = 24} (ans)
(সাবমিট করার মত প্রব্লেম নেই)

[ROHAN1230]

Can you pls post the next problem?

[adnansgphs]

“The perpendicular dropped from the vertex of the right angle upon the hypotenuse divides it into two segments of 9 and 16 feet respectively. Find the lengths of the perpendicular, and the two legs of the triangle.”

Source: MIT admission exam-1869

[ROHAN1230]

Here,
\angle ADE = \angle BDE and \angle DBE = 90 - \angle DEB = 90 - \angle DAE

So,
\triangle DEB and \triangle DEA are similar triangles.

So,
z/16 = 9/z

So,
z^2 = 9 \times 16 = 144

and, z = \sqrt{144} = 12

So,
y = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20
and, x = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15

[ROHAN1230]

Problem 11:

English:
A square is divided into three parts with equal areas. If the distance between the parallel lines is 1 unit, what will be the area of the square?

বাংলা:
একটি বর্গক্ষেত্রকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট তিনটি ভাগে ভাগ করা হলো। সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্বর্তী মধ্যবর্তী দূরত্ব ১ একক হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

[shahriaraminarif1234]

@ROHAN1230

একটি বর্গক্ষেত্রকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট তিনটি ভাগে ভাগ করা হলো। সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্বর্তী মধ্যবর্তী দূরত্ব ১ একক হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

মধ্যবর্তী দূরত্ব কি লম্ব দূরত্ব?

[bishnudas1315]

ধরি, বর্গের বাহু AB = BC = CD = AD = a
\Delta ADE এ,
tan(\theta) = \frac{a}{DE}
DE = a cot(\theta)
CE = CD - DE= a - a cot(\theta) = a(1-cot\theta) = 1

{a = \frac {1}{1-cot\theta}} .................(i)

AF = CE
sin(\theta) = \frac{a}{AE}
AE = \frac{a}{\sin \theta}

area of triangle ADE = area of parallelogram AECF
\frac {1}{2}*AD*DE = AE*AF*sin\theta
\frac {1}{2}*a*acot\theta = \frac{a}{sin\theta} *a(1-cot\theta)*sin\theta
\frac {1}{2} *cot\theta = 1 - cot\theta
cot\theta = \frac{2}{3}

so, a = \frac{1}{1- \frac{2}{3}} = 3
and area of the square ABCD = a^2 = 3^2 = 9
\fbox{area = 9} (ans)
(no problem to submit)

[shahriaraminarif1234]

ধরি,   বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য , AB=x একক।    AE=CF=(x-1) একক ।   EB=DF=1 একক।

প্রশ্নমতে,        \triangle{AED} এর ক্ষেত্রফল = EDFB  সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
                   =>   \cfrac{1}{2}*AD*AE = DF*AD

                   => \cfrac{1}{2}*x*(x-1) = 1*x

                   => x^2-x = 2x

                   => x^2-3x=0

                   => x(x-3)=0

                    \therefore x=0,3

এখন, বাহুর মান 0 হতে পারবে না। অতএব, বর্গের এক বাহুর মান  3 একক।

বর্গের ক্ষেত্রফল = 3^2=9 বর্গ একক। \fbox{Ans}

[ROHAN1230]

@shahriaraminarif1234
Can you pls post the next problem?

[ROHAN1230]

The center of the circumcircle of triangle \triangle ABC is located on \overline{AB}=29. If \overline{AC} = 20, what is the distance between the centers of the circumcircle and the incircle of \triangle ABC? Express your answer as a decimal to the nearest hundredth. (Problem 12)