Geometry Marathon

Hello,
I would like to start a “Geometry Marathon”

Here are the Rules:

  1. Please number your problems and solutions so that people will know which problem/solution you are referring to.

  2. I will post the first problem. Then someone else can post a full solution to my problem in addition to posting a new problem. If you don’t have a new problem, you can always use someone else’s problem! But make sure to cite the source you used to get the problem.

Here is the first problem:

The perimeter of a quadrilateral is 10. l is the diagonal of the quadrilateral. Find the sum of all possible values of l where l is a positive integer. (Problem 1)

Can the sides of the quadrilateral be fraction? @ROHAN1230

I like the idea.
Aops er moto GZ teo marathon start kora.
Bring it on!!

1 Like

কর্ণের দৈর্ঘ্য সর্ব্বোচ্চ হতে পারবে 4 কারণ 5 হতে গেলে সেটা সরাসরি Triangle inequality কে contradict করে। তাহলে উত্তর 1+2+3+4= \fbox{10}

আমার কাছে প্রব্লেম নাই। যে কেউ প্রব্লেম দিতে চাইলে দিতে পারো।

1 Like

Problem 2 has been removed…

Problem gula bangla te dile bhalo hoy. Sobai bujhbe.
@ROHAN1230

1 Like

Is the question ok now?

1 Like

@ROHAN1230 Yes it is ok.

1 Like

The answer of problem 2 has been also removed

1 Like

@adnansgphs Pls read the rules of the marathon…

Here are the Rules:

  1. Please number your problems and solutions so that people will know which problem/solution you are referring to.
  2. I will post the first problem. Then someone else can post a full solution to my problem in addition to posting a new problem. If you don’t have a new problem, you can always use someone else’s problem! But make sure to cite the source you used to get the problem.

Okey I am posting the next problem…

O is the circumcenter of an equilateral triangle with each side 15cm and a side l. M is the midpoint of l. Determine the value of OM. (Problem 3)

Is the l is the side of the triangle or other?

অনুবাদঃ

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. একটি বাহু l এবং পরিকেন্দ্র Ol এর মধ্যবিন্দু হলো MOM এর মান নির্ণয় করো।


সমাধানঃ

যেহেতু এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাহলে এর ভরকেন্দ্র এবং পরিকেন্দ্র একই বিন্দু হবে। তাহলে O থেকে কোন একটি শীর্ষ পর্যন্ত রেখা টানা হলে তা ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা হবে। মধ্যমাকে ভরকেন্দ্র 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
ধরি ত্রিভুজটি ABC এবং l হলো BC । তাহলে, AO:OM = 2:1 \Rightarrow AM:OM = 3:1 হবে।
AM^2 = AB^2 - BM^2 = 15^2 - (\frac{15}{2})^2 = \frac{675}{4} \Rightarrow AM = \frac{15\sqrt3}{2} \Rightarrow OM = \frac{5\sqrt3}{2}

1 Like

Problem 4:

বাংলাঃ
ABCD একটি আয়তক্ষেত্র যেন AB=12 এবং BC=10 । আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে E এবং F এমন দুটি বিন্দু যেন BE=9, DF = 8, BE \parallel DF , EF \parallel AB , এবং BE সরলরেখা AD কে ছেদ করে। EF এর মান বের করো।

English:
In rectangle ABCD, AB=12 and BC=10. Points E and F lie inside rectangle ABCD so that BE = 9 , DF = 8 ,BE \parallel DF , EF \parallel AB , and line BE intersects segment AD. Find the length of EF.

Collected from AIME 2011

ধরি, AM = x
তাই , MB =12-x
so , EM = BO = \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)} = \sqrt{(81 - (12-x)^2)}
CO = FN = 10 - \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)} = 10 - \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)}
আবার ত্রিভুজ FDNBEO সদৃশ
তাই, \frac{DF}{BE} = \frac{NF}{BO}
\frac{8}{9}= \frac{ 10 - \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)}} { \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)}}
ধরি, p = \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)}
\frac{8}{9}= \frac{ 10 -p} {p}
\frac{8}{9}= \frac{ 10 } {p} - 1
p = \frac{90}{17}
\sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)} = \frac{90}{17}
9^2 - (12-x)^2 = (\frac{90}{17})^2
(12-x)^2 = 9^2 -(\frac{90}{17})^2
12 - x = \sqrt{9^2 -(\frac{90}{17})^2 }
x = 12 - \sqrt{9^2 -(\frac{90}{17})^2 }
\fbox{x = 4.72179}

আবার, CO=FN = 10 - \sqrt{ (9^2 - (12-x)^2)} = 10 - \sqrt{ (9^2 - (12-4.72179)^2)}=4.70588
DN = \sqrt{ DF^2 - FN^2} = \sqrt{8^2 - 4.70588^2} = 6.4695
CN = CD-DN = 12 - 6.4695 = 5.5305
\fbox{CN =5.5305}

এখন, EF = AB-(AM+CN)
EF =12 - (4.72179+5.5305)
\fbox{EF = 1.74771} (ans)
(no problem to submit :slight_smile:

3 Likes

Problem 5 has been removed

1 Like

If the tangent of the small circle ED=4, What is the difference of the area of the big circle and the area of the small circle? Give the answer up to 4 numbers after the decimal point. ( Problem 6 )

Translation: যদি ছোট বৃত্তের স্পর্শক ED = 4 , বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত? দশমিক বিন্দুর পরে 4 সংখ্যা পর্যন্ত উত্তর দাও । ( সমস্যা ৬ )

Source : Dr. Tanzil's Island | Toph

Solution of problem 6:

Here, the radius of the big circle = AE
By using Pythagoras theorem, we get,
AE^2=AD^2+ED^2
=> ED^2=AE^2-AD^2
The area of,
big circle = \pi \times AE^2
small circle = \pi \times AD^2

So, the area of the lake = (\pi \times AE^2) - (\pi \times AD^2)
= \pi \times ED^2
= 3.14159 \times 4^{2}
= 50.265482…

The result is: 50.2655 square unit.

[This is the solution of the sources problem. Here, a bit change with the given problems statement. I think there is lack of information.]

Enjoy the problem solving!

1 Like

এইটা টাইপ করলে ভালো হতো না? ল্যাটেক্স কোডগুলো পড়া যাচ্ছে না।
পরে সময় পেলে এটা এডিট করে ল্যাটেক্স কোডে লিখে ফেলো, কেমন?


বৃত্ত ছিল চোখের মণি— সীমানা বৃত্তচাপ //
ছবিতে তাকাও , জানতে পারবে কার কোন পরিমাপ//
চিন্তা করবে ধীরে বৎস , পিথাগােরাসের মতাে—//
বলাে তাে , চোখের সাদা অংশের ক্ষেত্রফলটা কত?(সমস্যা-৭)
Source:(অঙ্ক ভাইয়া - Onko Bhaiya - Chamok Hasan - Google Books)