Math Hunters 19

Schedule

The contest will start on January 13, 2023 at 7:00pm UTC+6:00 and will run for 2 hours .

Access

It is open for everyone to participate.

Contest Link: Math Hunters 19 | গণিতযজ্ঞ

এটার ব্যাখ্যা অনেক সহজ। অমূলদ সংখ্যাগুলো পাওয়া যায় একেকটি অসীম ধারা বা সিরিজের মাধ্যমে। আর এই সিরিজের একেকটি পদ একেকটি সংখ্যা। ফলে সিরিজ যেহেতু শেষ হয় না, অমূলদও শেষ হবে না। যেমন: e একটি অমূলদ সংখ্যা। এটি পাওয়া যায়, limit n→infinity {1+(1/n)}^n এর মাধ্যমে। দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে এটিকে বিস্তৃত করলে একটি অসীম ধারা পাওয়া যাবে কারণ এর ঘাত অসীম। আর তারপর প্রাপ্ত সিরিজে n এর মান পুরোপুরি Infinity বসালে সিরিজটি হবে,
e= 1+1+(1/2!)+(1/3!)+ (1/4!)+… অর্থাৎ, আমি এই অসীম ধারার যত পদ পর্যন্ত নির্ণয় করব, e এর মান তত ঘর পর্যন্ত নির্ণয় করতে পারবো। এই ধারার পদের শেষ নেই, তাই e এর মান শেষ হবে না। তারপর ধরুন √3। এটাকে (1+2)^(1/2) আকারে লিখে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে একে বিস্তৃত করা যায়। এই ধারায় 2 এর উপর 1, 2,3 করে পাওয়ার বাড়াতে থাকলে তা কখনোই 1/2 তে পৌঁছবে না। ফলে সিরিজটিও শেষ হবে না। তাই √2 এর মান শেষ হবে না এবং একই অঙ্ক বারবার আসবে না। আবার ধরুন π এর মান। এটি মাধব গ্রেগরী লিবনিজের ধারা থেকে পাওয়া যায়, যা একটি অসীম ধারা। এটি হলো: 4-(4/3)+(4/5)-(4/7)+…
এভাবে পাই এর মান পাওয়া যায়। আবার ধরুন, sin (π/4) এর মান 1/√2। এটি অমূলদ। এটি এসেছে sin x কে বিস্তৃত করে।

এখন প্রশ্ন আসতেই পারে, সব সংখ্যার বর্গমূল তো আর অমূলদ না? যেমন √4। এক্ষেত্রে, এটাকে (1+3)^(1/2) আকারে লিখে দ্বিপদী বিস্তৃতি করলে একটি অসীম ধারা পাওয়া যাবে। কিন্তু এর মান তো 2।অমূলদ বা অসীম নয়। আসলে সেক্ষেত্রে এই অসীম ধারার অসীমতক সমষ্টিই 2। যেসব ধারার অসীমতক সমষ্টি অনির্ণেয়, সেগুলোই অমূলদ আকারে আসবে। আবার, sin (π) = π-(π^3/3!)+ (π^5/5!)… এক্ষেত্রে অসীম ধারার অসীমতক সমষ্টি 0।