Click here to read the complete problem statement.
এটি সম্ভবত আমার করা সবচেয়ে সহজ সমস্যাগুলোর একটি। এখানে প্রথম সমীকরণটি থেকে b এর একটা মান পাওয়া যাবে। সেই মানটা বসিয়ে f(x)=0 গঠন করতে হবে। এই সমীকরণে a এর বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখতে হবে কোন মানের জন্য f(x)=0 এর সমাধানের দুটোই পূর্ণসংখ্যা হয় (প্রশ্নের শর্তানুসারে)। তারপর সহজেই সমাধান করা যাবে।
1 Like
Given the functional equation f(x+1/x)=f(x)+f(1/x) for all non-negative real x, and f(x)=x2+ax+b. Also, the solutions of f(x)=0 are integers. We need to find the value of a2+b2.
First, let’s use the given functional equation.
f(x+1/x)=(x+1/x)2+a(x+1/x)+b
f(x)+f(1/x)=(x2+ax+b)+((1/x)2+a(1/x)+b)
f(x)+f(1/x)=x2+ax+b+1/x2+a/x+b
Now, equate the two expressions:
(x+1/x)2+a(x+1/x)+b=x2+ax+b+1/x2+a/x+b
x2+2+1/x2+ax+a/x+b=x2+ax+b+1/x2+a/x+b
Comparing both sides, we can see that 2+b=b, which implies 2=0. This is a contradiction.
Let’s re-examine the equation.
f(x+1/x)=f(x)+f(1/x)
Substitute f(x)=x2+ax+b:
(x+1/x)2+a(x+1/x)+b=(x2+ax+b)+((1/x)2+a(1/x)+b)
x2+2+x21+ax+xa+b=x2+ax+b+x21+xa+b
Notice that the terms x2, 1/x2, ax, a/x, and b appear on both sides.
After cancelling these terms, we are left with:
2=b
So, from the functional equation, we get b=2.
Now, we are given that the solutions of f(x)=0 are integers.
f(x)=x2+ax+b=0
Since b=2, we have x2+ax+2=0.
Let the integer solutions be x1 and x2.
From Vieta’s formulas:
Sum of roots: x1+x2=−a
Product of roots: x1x2=2
Since x1 and x2 are integers and their product is 2, the possible pairs for (x1,x2) are:
(1,2)
(−1,−2)
Case 1: x1=1,x2=2
Then −a=x1+x2=1+2=3⇒a=−3.
Case 2: x1=−1,x2=−2
Then −a=x1+x2=−1+(−2)=−3⇒a=3.
We need to find the value of a2+b2.
In Case 1: a=−3 and b=2.
a2+b2=(−3)2+(2)2=9+4=13.
In Case 2: a=3 and b=2.
a2+b2=(3)2+(2)2=9+4=13.
In both cases, the value of a2+b2 is the same.
The final answer is 13.