গণিত কি অমীমাংসিত হয়? যেকোনো গাণিতিক সমস্যার কোনো না কোনো একটা সমাধান হয়তো এসেই যাওয়ার কথা, তাই না? কিন্তু এখন আমি এমন একটা সমস্যার কথা লিখবো, যেটি কিনা প্রায় ৮৫ বছর ধরে অমীমাংসিত! অবাক হলে নাকি? চলো শুরু করা যাক!
স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে তো আমরা সবাই পরিচিত। ঐযে 1, 2, 3,…মানে ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আরকি! এবার একটা কাজ করো ; যেকোনো একটা স্বাভাবিক সংখ্যা বেছে নাও। সেটি জোড় হলে 2 দিয়ে ভাগ করো আর বিজোড় হলে সেটিকে 3 দিয়ে গুণ করে গুণফলের সাথে 1 যোগ করো। প্রাপ্ত সংখ্যাটির উপর আবার এই প্রক্রিয়াটিই চালাও। এভাবে একই কাজ করতে থাকো। ঠিকমতো করতে পারলে একসময় কিন্তু তুমি 1 -এ পৌঁছে যাবে!
ধরো, আমরা 5 নিয়ে শুরু করলাম। যেহেতু এটি বিজোড়, তাই একে 3 দিয়ে গুণ করে গুণফলের সাথে 1 যোগ করতে হবে। ফলে আমরা পাচ্ছি 16। 16 জোড় , তাই একে 2 দিয়ে ভাগ করি, হলো 8। 8 জোড়, তাই আবার 2 দিয়ে ভাগ করে পাচ্ছি 4। জোড় 4 কে 2 দিয়ে ভাগ করলে পাই 2 এবং আবার একই কাজ করলে শেষপর্যন্ত এসে পড়ছে 1।
মানে ধারাটা অনেকটা এমন দাঁড়ালো : 5, 16, 8, 4, 2, 1। অর্থাৎ প্রক্রিয়াটি হলো আসলে Half or Triple Plus One। আর এই প্রক্রিয়া চালিয়ে যে ধারাটা পাওয়া যায়, সেটিকে বলে “কোলাৎজের ধারা” বা “Collatz Sequence”। জার্মান গণিতবিদ Lother Collatz সর্বপ্রথম এই ধারা উদ্ভাবন করেন বলে তাঁর নামানুসারেই এই ধারাটির নামকরণ হয়েছে।
আচ্ছা, তাহলে যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষেত্রেই কি ব্যাপারটি ঘটবে? লোথার কোলাৎজ 1937 সালে তেমনটি দাবি করলেও তাত্ত্বিক গণিতে কিন্তু এটি প্রমাণিত নয়! অবশ্য ব্যবহারিকভাবে কম্পিউটার প্রোগ্রাম দিয়ে 5.764×1018 পর্যন্ত পরীক্ষা করে দেখা গেছে যে, এটি সত্য। বাট হু কেয়ারস, ম্যান? তাত্ত্বিক যুক্তির বিচারে (আরোহ, অবরোহ ইত্যাদি) প্রমাণিত না হলে গণিত সেটাকে কোনোভাবেই “প্রমাণিত সত্য” হিসেবে স্বীকৃতি দেবে না। হয়তো ভাবছো, a×0=0 কিংবা a×1=a অথবা -(-n)=n ইত্যাদি তো ছোটবেলা থেকেই জেনে আসছি ; এগুলোর আবার প্রমাণ কি? সেক্ষেত্রে বলি, প্রকৃতপক্ষে এগুলোরও প্রমাণ আছে। প্রমাণ ছাড়া গণিত চলে না!
তো, অপ্রমাণিত বিধায় Collatz Sequence এর ব্যাপারটি এখনও শুধুমাত্র অনুমান। তাই একে বলা হয় “Collatz Conjecture” বা “কোলাৎজ অনুমান”।
এবারে আমরা Collatz Sequence এর আরেকটা উদাহরণ দেখবো। এবারে আমরা 23 দিয়ে শুরু করি। ধারাটি হবে : 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1।
এক্ষেত্রে 1 এ পৌঁছাতে আমরা 16টি ধাপ পার করেছি। ধারাটির সর্বোচ্চ পদ 160 ।
Collatz Sequence -এ কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়ে শুরু করলে সেটি যতগুলো ধাপ পার করে 1- এ পৌঁছায়, তাকে ঐ সংখ্যার “Stopping Time” বলে। অর্থাৎ 23 এর স্টপিং টাইম 16 । কোলাৎজ অনুমান অনুযায়ী, যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যারই একটি সুসংজ্ঞায়িত স্টপিং টাইম আছে।
100 মিলিয়নের চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর মধ্যে 63728127 এর স্টপিং টাইম 949 , যা 100 মিলিয়নের চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ।
কোনো কোনো গণিতবিদ আবার কোলাৎজ অনুমানকে মিথ্যা ধরে নিয়েছেন! তাদের মতে, নিশ্চয়ই এমন কোনো না কোনো সংখ্যা রয়েছে, যা দিয়ে Half Or Triple Plus One প্রক্রিয়ায় ধারা তৈরি করা হলে, তা কখনোই 1 এ পৌঁছাবে না। হয় সেই ধারায় নির্দিষ্ট কিছু পদ বারবার আসতে থাকবে, অথবা পদগুলোর মান অসীমতক বৃদ্ধি পাবে। তবে এখনও তেমন কোনো সংখ্যা বা ধারা শনাক্ত হয় নি।
আবার 1972 সালে জে.এইচ. কনওয়ে প্রমাণ করেন যে, Collatz Conjecture এর স্বাভাবিক সরলীকরণ পর্যায় পরম্পরাভাবে (algorithmically) অমীমাংসিত।
তবে আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াডের সাবেক স্বর্ণপদকজয়ী খ্যাতনামা অস্ট্রেলীয় গণিতবিদ টেরেন্স টাও কোলাৎজ অনুমানের প্রমাণ নিয়ে কাজ করছেন এবং তিনি এটি প্রমাণের অনেক কাছে চলে এসেছেন। তাই আমরা আশা করতেই পারি, “প্রকৃতপক্ষেই কি কোলাৎজ ধারা যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা দিয়ে শুরু হয়ে সর্বদাই 1 -এ শেষ হয়?”—প্রশ্নটির উত্তর সম্ভবত আমরা দ্রুতই পেয়ে যাবো, অদূর ভবিষ্যতেই হয়তো ফয়সালা হয়ে যাবে আলোড়ন সৃষ্টিকারী এই সমস্যার। তবে আপাতত সত্য-মিথ্যার দোলাচলে আছে এই বিখ্যাত অমীমাংসিত গাণিতিক অনুমানটি।
SOURCE -: TEAM ONGKO & GONIT SCHOOL PROTHOM ALO